Rappresentare le figure con gli assi
Già alle elementari si inizia a fare pratica con le coordinate cartesiane, o meglio con le ascisse (asse x) e le ordinate (asse y). Ogni punto che si inserisce all’interno del piano cartesiano si può identificare grazie a questi due valori. Scriviamo perciò P (xP ; yP) per capire in che punto del piano cartesiano disegnarlo e distinguerlo dagli altri, ossia individuarlo in maniera univoca. Gli assi x e y sono perpendicolari fra loro e nel punto di incidenza sia x che y valgono zero, e questo punto si chiama origine O (0; 0).
Tuttavia questo sistema di rappresentazione vale solo per le figure piane. Per riuscire a rendere anche i solidi dobbiamo aggiungere una terza coordinata, chiamata z, che consente di dare la profondità.
Come si usano e quando sono nate le coordinate cartesiane
Iniziamo con il precisare che il sistema cartesiano prende il nome dal matematico francese Renée Descartes, che in Italia però tutti conosciamo come Cartesio. A lui si deve infatti l’unione di due branche della Matematica che inizialmente sembravano distinte, vale a dire la geometria e l’algebra. Dalla loro fusione nacque la Geometria Analitica, la disciplina che utilizza un sistema algebrico per rappresentare enti geometrici. Per farlo gli assi nominati prima (x, y e z per le figure in tre dimensioni) devono riportare la stessa unità di misura. Si può quindi costruire una griglia su cui rappresentare i diversi punti, che in un certo senso ricorda la dinamica della battaglia navale.
La differenza è che qui non abbiamo le lettere e i numeri, ma solo valori numerici. Il primo valore che si riporta tra parentesi corrisponde alla x del punto, il secondo alla y. Nel caso in cui si abbia a che fare con figure a tre dimensioni si inserisce anche la terza coordinata, z. Queste coordinate cartesiane assumono valore positivo o negativo in base al quadrante su cui si trovano. Immaginando che i due assi formino una croce possiamo individuare quattro quadranti, indicati con i numeri romani. Si numerano in senso antiorario partendo dal primo in alto a destra.
Nel I° quadrante abbiamo x e y che assumono valori positivi, mentre nel II°, a sinistra dell’asse y, abbiamo valori negativi per x. Il terzo quadrante, che si trova in basso a sinistro, presenta punti con entrambe le coordinate negative, e infine il quarto ha ordinate negative e ascisse positive. Tenere a mento questo schema aiuta a capire più facilmente come collocare i punti. Ciascuno dei due assi comprende tra i valori possibili tutto l’insieme dei numeri reali, ovvero R.
Come disegnare i punti sul piano cartesiano
Capire come usare le coordinate cartesiane non è difficile, basta tenere a mente che il primo valore è l’ascissa e il secondo l’ordinata. Se abbiamo quindi ad esempio un punto A (-2; 3) dovremo posizionarci sull’asse orizzontale e andare a sinistra di due unità di misura a partire dall’origine O. Da qui visto che l’ordinata è positiva ci sposteremo di tre unità verso l’alto, e questa sarà la posizione di A. Con un punto B (3; -4) dovremo invece partire dall’origine e spostarci di 3 unità a destra, per poi spostarci verso il basso di altre quattro. Per essere sicuri di solito si disegna il tratteggio per congiungere il punto ai due valori degli assi.
Se passiamo allo spazio tridimensionale e abbiamo anche la coordinata z allora possiamo considerarlo come l’altezza del punto rispetto al piano cartesiano. Risulta infatti ortogonale sia all’asse x che all’asse y. Come per le altre due coordinate cartesiane quando ha z ha valore pari a zero si posiziona sull’origine. Potremmo anzi considerare i punti visti prima come se avessero tutte e tre le coordinate, ma con valore nullo per z. Se il valore della terza coordinata è negativo si troverà perciò al di sotto del piano individuato dall’asse delle ascisse e delle ordinate.
Le coordinate cartesiane e gli ottanti
Prese singolarmente l’ascissa, l’ordinata e l’altezza di un punto appartengono a una retta o asse. Tuttavia due assi insieme individuano un piano bidimensionale, e possiamo averne in tutto tre: xy, yz e xz. Intersecandosi fra di loro questi suddividono lo spazio tridimensionale in otto parti definite ottanti. Si tratta in sintesi dell’equivalente in tre dimensioni dei quadranti in cui si suddivide il piano cartesiano. Insieme queste otto regioni vanno a comporre un cubo, e le numeriamo sempre utilizzando i numeri romani da I a VIII.
Per essere più precisi, primo ottante è un cubo avente come base il primo quadrante, e ha tutte e tre le coordinate cartesiane positive. Gli ottanti dal II al IV si trovano sopra i rispettivi quadranti, e al loro interno z ha sempre valore positivo o pari a 0.
Gli ottanti dal numero V all’VIII si trovano invece al di sotto, dove l’altezza assume valore negativo. Per individuarli possiamo precisare che il numero V è sotto all’ottante I, il VI sotto al II e così via. Dunque se z assume valore positivo sappiamo che il punto si trova in uno degli ottanti dall’I al IV e per capire in quale ci baseremo sui valori di x e y. Se invece il valore dell’alteza è negativo dovremo posizionare il punto in uno degli ottanti tra il numero V e il numero VIII. Per capire in quale dovremo sempre fare riferimento ai valori dell’ascissa e dell’ordinata. Se entrambe sono positive saremo sul V e così via.
I versori
Quando utilizziamo le coordinate cartesiane nello spazio a tre dimensioni ci torna utile conoscere i, j e k. Si tratta dei versori associati agli assi cartesiani, ovvero vettori di lunghezza unitaria (il loro modulo è pari a 1). Per rappresentare i vettori nel piano bidimensionale usiamo i e j, i versori associati rispettivamente all’asse delle ascisse e delle ordinate. Se il vettore giace su un piano diverso da xy allora useremo k, che è il versore associato all’asse z.
Ognuno dei tre piani individuati dai tre assi di cui abbiamo già parlato può essere definito anche da un punto e da un vettore.
