Definire i numeri primi
Si definiscono tali tutti i numeri maggiori di uno che risultino divisibili solo per questa cifra oltre che per sé stessi.
Dato che nel caso dell’unità singola (1) questa definizione risulterebbe priva di senso non lo si conta all’interno di questa categoria. Al contrario i numeri composti sono tutti quelli che contano almeno un altro divisore oltre 1 e sé stessi.
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Il 2 costituisce l’unico numero primo pari, dopodiché fino al dieci possiamo identificare il 3, il 5 e il 7. Ma come sappiamo bene l’insieme N è infinito, e questa proprietà è comune sia ai numeri primi che a quelli composti. Se con le cifre singole o i numeri a due cifre è ancora rapido capire se abbiano più divisore la faccenda si complica man mano che si procede verso l’infinito.
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Il loro concetto è molto antico, tanto che compare all’interno di un’opera elaborata dal matematico greco Euclide risalente al III secolo a.C. Uno studioso vissuto nel periodo immediatamente successivo, Eratostene, aveva elaborato anche un primo algoritmo per trovare quelli compresi fra due numeri naturali. Oggi lo conosciamo con la definizione crivello di Eratostene.Â
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Scomporre un numero naturale
Per svolgere calcoli base con le frazioni come le addizioni e le sottrazioni è necessario stabilire il minimo comune multiplo (m.c.m.) dei loro denominatori.
I numeri primi giocano un ruolo fondamentale nella sua determinazione, in quanto per ricavarlo occorre prima scomporre i numeri in fattori. Una volta individuati quelli comuni con l’esponente più alto e quelli non comuni basta moltiplicarli fra loro per determinare l’m.c.m.
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I fattori di cui parliamo però non possono essere numeri composti, altrimenti rischieremmo di commettere errori dimenticandone alcuni. La scomposizione di un numero naturale si può definire completa soltanto quando il risultato è un prodotto tra fattori indivisibili. O più semplicemente quando si riduce una quantità a un prodotto fra numeri primi.
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Prendiamo come esempio un numero a tre cifre come 116.
Possiamo dividerlo per 2, che è un numero primo, e otteniamo 58, a sua volta pari e quindi divisibile per 2. Il risultato è 29, che invece non ha altri divisori. La sua scomposizione quindi è 2 x 2 x 29, ma visto che uno di questi fattori è scritto più volte possiamo anche scrivere 2² x 29.
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Metodi rapidi per riconoscere i numeri primiÂ
Quando ci si trova di fronte a una quantità a 3, 4 o più cifre come accennato non è semplice riconoscere se si tratti di un numero primo.
Esistono però delle regole che possono aiutare a capire entro pochi secondi se il numero che si sta guardando faccia parte dei numeri composti.
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La prima, banalissima, è vedere se l’ultima cifra sia 0, 2, 4, 6 o 8 perché ciò significa che è pari e dunque divisibile per 2.
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Una seconda prova da eseguire per escludere la possibilità che la quantità che si ha davanti faccia parte dei numeri primi è sommare le sue cifre.
Se il risultato è un multiplo del numero 3 (6, 9, 12, 15…) allora quel numero è multiplo di 3.
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Per fare un esempio prendiamo il numero 213, e facciamo l’addizione fra le sue cifre: 1 + 2 + 3 = 6. Provando a dividerlo per 3 infatti otteniamo un risultato intero, pari a 71.Â
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Quando il numero che dobbiamo classificare come composto o primo termina per 0 o per 5 sappiamo che anche il numero 5 sarà fra i suoi divisori. Più complesso è riconoscere i multipli di 7, di 11, di 13 e così via, casi in cui non rimane che eseguire la divisione e vedere se il risultato sia o no un numero intero.Â
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Qual è il più grande valore privo di divisori?
Abbiamo già detto che i numeri primi sono infiniti, quindi determinare quale sia il più grande potrebbe suonare come un controsenso.
Tuttavia c’è più di un matematico che ha dedicato mesi se non anni a proseguire la loro ricerca verso valori sempre più grandi. Quelli compresi fra 0 e 100 (sono 25 in tutto) si riportano anche nei libri delle elementari, così come è noto da tempo quanti ce ne siano fra 0 e 1.000.Â
Il numero primo che al momento rimane come il più alto trovato secondo le notizie aggiornate a ottobre del 2024 è 2136 279 841 − 1. A calcolarlo è stato Luke Durant, un matematico che come altri ha aderito al progetto Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) fondato nel 1996 per il calcolo di numeri primi sempre maggiori.Â
A prendervi parte sono volontari appassionati di matematica. Tramite lo stesso progetto nel 2016 si era arrivati già a M74207281. Era un numero con 22.338.618 cifre, ma molto più piccolo in rispetto a quest’ultimo. Corrispondeva infatti a 27420781 − 1.
La presenza letteraria
L’alone di fascino che questo argomento esercita sui matematici e non solo ha portato alla stesura di diversi libri di narrativa o gialli incentrati su quesiti che li riguardano. In particolare suscitano curiosità le coppie di valori chiamate “numeri primi gemelli”, ovvero separati da un solo numero.
La loro differenza quindi risulta pari a 2, la più piccola che si possa avere tra questi numeri esclusi il 2 e il 3.
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Alcuni esempi sono il 3 e il 5, il 5 e il 7, l’11 e il 13 o il 17 e il 19.
Il fatto che siano così vicini ha ispirato un romanzo di
Paolo Giordano che si è guadagnato
il Premio Strega nel 2008.
Il titolo è La solitudine dei numeri primi e racconta il rapporto fra due giovani, Mattia e Alice, che non riescono a iniziare una vera relazione nonostante l’attrazione e l’affetto reciproci.
Mattia, che nel libro è un insegnante di topologia algebrica, nota la somiglianza di questo rapporto con queste coppie di numeri. Vicinissime, ma sempre con un ostacolo in mezzo.Â
