Conoscere i solidi geometrici
Spesso, quando si parla di geometria, ci vengono in mente delle figure piane, eppure il mondo che ci circonda è pieno di solidi geometrici.
Gli oggetti intorno a noi, dalla scatola delle scarpe al pallone usato dai bambini per giocare, è riconducibile a un particolare solido. Per questo capire come funzionano, come si calcolano superfici e volumi, e quali sono le loro caratteristiche non è soltanto un esercizio matematico, ma un modo per capire meglio ciò che ci circonda.
Inoltre, conoscere i solidi geometrici aiuta anche a sviluppare il pensiero spaziale, una capacità fondamentale in tantissimi campi. Chi lavora nel campo dell’architettura e dell’ingegneria, ma anche nel design e nell’informatica deve conoscere questa tipologia di figure.
Cosa sono i solidi geometrici
Partiamo, prima di tutto, con le definizioni.
Con il termine “solidi geometrici”, spesso chiamati anche solamente solidi (o figure geometriche solide), indichiamo quelle figure che sono caratterizzate da tre dimensioni. Le dimensioni dei solidi sono la lunghezza, la larghezza e la profondità.
I solidi geometrici sono dunque quelle figure che occupano uno spazio tridimensionale. Inoltre, ogni solido è caratterizzato da un volume.
La principale distinzione tra le figure piane e i solidi è che questi ultimi possiedono una profondità.
Se le figure piane possiedono solamente l’altezza e la larghezza (e su un piano cartesiano hanno solo due assi), i solidi prevedono anche la profondità.
Per questo, su un piano cartesiano presentano tre assi.
Tipologie principali ed esempi
I solidi geometrici non sono tutti uguali; possiamo individuare tre differenti tipologie:
- solidi geometrici di rotazione: come il nome stesso lascia intendere, derivano dalla rotazione di una figura piana.
Questa tipologia di solido deve avere almeno una superficie curva. Un esempio di solido di rotazione è la sfera, derivante dalla rotazione completa di un semicerchio attorno al proprio diametro; - piramidi e prismi: queste figure solide presentano, come facce, delle figure piane le quali sono equidistanti tra loro.
Le piramidi hanno una sola base, la quale è una figura piana, mentre le superfici laterali sono costituite da triangoli. I prismi, invece, hanno due basi, rappresentate da due figure piane uguali. Le superfici laterali, in questo caso, sono dei parallelogrammi; - figure irregolari: si tratta dei poliedri che hanno forma mista.
Possono presentare superfici sia poligonali che curve; in questa tipologia possiamo inserire tutti i solidi geometrici che non fanno parte delle due precedenti categorie.
I solidi platonici
Tra i solidi geometrici, hanno attirato spesso l’attenzione i cosiddetti solidi platonici.
In questa categoria rientrano cinque solidi specifici, che condividono una caratteristica: ogni loro faccia è un poligono regolare congruente, ogni spigolo ha la stessa lunghezza e ogni vertice presenta la stessa disposizione di facce.
I solidi geometrici platonici sono:
- tetraedro, che ha 4 facce triangolari
- cubo (o esaedro), con 6 facce quadrate
- ottaedro, con 8 triangoli equilateri
- dodecaedro, con 12 pentagoni regolari
- icosaedro, che ha 20 triangoli equilateri.
Dal punto di vista matematico, questi solidi hanno attirato l’attenzione perché rappresentano l’idea di simmetria perfetta.
Sono utilizzati in campi che vanno dalla fisica teorica alla chimica, dalla modellistica 3D alla grafica.
Le principali formule dei solidi geometrici
Nelle prossime sezioni ci dedicheremo all’analisi delle principali formule dei solidi geometriche, necessarie per la risoluzione di problemi di geometria solida.
Formule del cubo
Tra le formule relative ai solidi geometrici, molto utili sono quelle del cubo. Le principali sono le seguenti:
- Volume del cubo: V = L3
- Superficie di base: Sb = L2
- Superficie laterale: Slat = 4L2
- Superficie totale: Stot = Slat + 2Sb = 6L2
- Diagonale: d = L√3
Sfera, cilindro e cono: le principali formule
Tra i solidi geometrici figurano anche la sfera, il cilindro e il cono.
Queste sono le principali formule della sfera:
- Volume: V = 4/3(πr3)
- Superficie totale: Stot = 4πr2
In merito al cilindro, invece, le formule da tenere a mente sono queste:
- Volume: V = πr2 ⋅ h
- Superficie laterale: Slat = 2πrh
- Superficie di base: Sb = πr2
- Superficie totale: Stot = Slat + 2Sb = 2πr ⋅ (r + h)
Per il cono, infine, valgono le seguenti formule:
- Volume: V = (πr2 ⋅ h) / 3
- Superficie di base: Sb = πr2
- Superficie laterale: Slat = πr ⋅ a
- Superficie totale: Stot = Slat + Sb = πr (a + r)
- Apotema: a = √(r2 +h2)
Formule prisma e piramide
In ultimo, tra i principali solidi geometrici abbiamo citato il prisma e la piramide.
Le principali formule del prisma per risolvere i problemi di geometria solida sono:
- Volume: V = Sb⋅ h
- Superficie di base: Sb = V / h
- Superficie laterale: Slat = Stot – 2Sb
- Superficie totale: Stot = Slat + 2Sb
Nel caso di un prisma retto, possiamo invece utilizzare queste formule:
- Superficie laterale: Slat = pb ⋅ h
- Altezza: h = Slat / pb
- Perimetro di base: pb = Slat / h
Queste, infine, sono le formule relative alla piramide retta:
- Volume: V = (Sb ⋅ h) / 3
- Superficie di base: Sb = dipende dal poligono di base della piramide
- Superficie laterale: Slat = (pb ⋅ h) / 2
- Superficie totale: Stot = Slat + Sb
- Apotema: a = √(r2 + h2)
Curiosità
Sono moltissime le curiosità e le particolarità legate ai solidi geometrici, ad iniziare da quelli platonici la cui importanza, come lascia intendere il loro nome, fu intuita ai tempi di Platone.
Ma una delle curiosità più famose è relativa alla sfera.
Anche se si tratta del solido che contiene il volume massimo con la minima superficie, non è per nulla semplice da costruire nel mondo reale in maniera perfetta. Tantissimi oggetti sferici, come ad esempio i palloni da calcio, sembrano sfere perfette, ma in realtà sono leggermente schiacciati o allungati.
Anche il cubo è uno dei solidi geometrici noto per le sue curiosità. È un solido platonico ed è l’unico che si può impilare perfettamente senza lasciare spazi vuoti.
Questa sua caratteristica così particolare lo rende molto utilizzato in architettura e nell’ambito della logistica.
